y축의 log

tl;dr

적당한 조건에서 로그 차분, 즉 로그를 뺀 값은 백분율 변화의 근사치가 된다.

기준 시점의 임금을 $w_{0}$ , 비교 시점의 임금을 $w_{1}$ 이라 하고, 임금의 실제 변화율을 $g$ 라고 둔다.

$g = \frac{w _{1} - w _{0}}{w _{0}}$

이를 $w_{1}$ 에 대해 정리하면 다음과 같다.

$w_{1} = w_{0} (1 + g)$

그래프의 Y축에 표시된 로그 차분(비교 시점 로그값 - 기준 시점 로그값)에 위 식을 대입한다.

$ln (w_{1}) - ln (w_{0}) = ln (\frac{w _{1}}{w _{0}}) = ln (1 + g)$

즉, 로그 차분의 값은 정확히 $ln (1 + g)$ 가 된다.

2. 테일러 전개(근사)의 적용

자연로그 함수 $ln (1 + g)$ 는 $g$ 가 $0$ 에 가까울 때 테일러 급수(매클로린 급수)를 통해 다음과 같이 무한 다항식으로 전개된다.

$ln (1 + g) = g - \frac{g ^{2}}{2} + \frac{g ^{3}}{3} - \frac{g ^{4}}{4} + \dots$

변화율 $g$ 가 충분히 작은 값(예: $0.1$ 이하)일 경우, $g^{2}, g^{3}$ 등의 고차항은 $0$ 에 극도로 수렴하여 무시할 수 있을 만큼 작아진다.

$g = 0.05$ 일 때:
- $g = 0.05$
- $\frac{g ^{2}}{2} = \frac{0.0025}{2} = 0.00125$ (오차 수준 미미)

따라서 2차 이상의 고차항을 제거하면 다음의 근사식이 성립한다.

$ln (1 + g) \approx g$

결과적으로 아래와 같은 등식이 성립한다.

$ln (w_{1}) - ln (w_{0}) \approx \frac{w _{1} - w _{0}}{w _{0}} = g$

대략 $g$ 가 0.1 이하에서는 오차를 무시해도 좋을 정도로 작다. 물론 무시해도 좋은 정도는 무엇을 다루느냐에 따라서 다르겠지만, 경제학의 성장률 혹은 금융의 이자율 같이 빠른 어름이 중요한 맥락이라면 큰 문제가 없다.

위 그림은 아린 듀베(Arindrajit Dube) 교수의 연구에서 가져온 것이다. 그래프의 세로 축은 시간 당 임금의 로그 값이다.

로그 그림이 편리한 이유; 관측 포인트에 대해서 선의 기울기(무리한 경우가 아니라면 회귀선)를 추정하면 이것이 관측(해당) 기간 동안의 성장률을 의미 뜻한다. 로그가 세로 축을 때 이 기울기를 비교하면 변화율을 비교할 수 있다.