왜 1rad일까?

호도법(弧度法)에서 1라디안(radian)은 반지름의 길이와 호(arc)의 길이가 같아지는 순간의 중심각으로 정의된다. 명칭 또한 ‘반지름(radius)‘과 ‘각도(angle)‘의 합성어에서 유래했다.

자의적 기준 대신 실수 단위

육십분법의 $360^{\circ }$는 고대 바빌로니아의 천문학적 관측(1년 약 360일) 및 60진법 체계에 기반한 인위적인 분할이다. 반면 원의 크기와 무관하게 항상 일정하게 유지되는 기하학적 고유 요소는 반지름($r$) 과 호의 길이($l$)의 비율이다.

$\theta =\frac{l}{r}$

호의 길이가 반지름과 정확히 일치할 때($l=r$), 비율은 $1$이 된다. 즉, 원 자체의 기하학적 성질만을 이용해 가장 자연스러운 각도의 기본 단위($1$ rad)를 도출한 것이다.

각도를 ‘무차원 실수’로 변환

육십분법의 ‘도(${}^{\circ }$)‘는 각도에 국한된 단위이므로 길이, 시간 등 다른 물리량과 대수적으로 직접 연산하기 어렵다. 반면 호도법은 길이($\text{m}$)를 길이($\text{m}$)로 나눈 비율이므로 무차원 실수(dimensionless real number)가 된다. 이로 인해 각도를 수직선 위의 일반 실수와 동일하게 다룰 수 있다.

$\sin x$과 $y=f(x)$ 를 함께 도해해야 한다고 생각해보자. $x$는 호도법이고 $x$는 통상적인 실수라면, 도해가 가능할까?

미적분학 및 해석학 상의 단순성

삼각함수를 해석학에서 다룰 때 호도법을 적용하면 미분·적분 공식에서 인위적인 비례 상수가 제거된다. 호도법에서는 아래의 식이 성립한다.

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$$

그런데, 육십분법을 사용하면

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x^{\circ }}{x}=\frac{\pi }{180}$$

호도법에서는 $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$로 정리되나, 육십분법에서는 $(\sin x^{\circ }{)}^{\prime }=\frac{\pi }{180}\cos x^{\circ }$가 된다.

그리고 테일러 급수 전개시 같이 계수가 정돈된 다항식 전개가 가능해진다.

$$\begin{array}{rl}\sin x& =0+1\cdot x+0\cdot \frac{x^2}{2!}+(-1)\cdot \frac{x^3}{3!}+0\cdot \frac{x^4}{4!}+1\cdot \frac{x^5}{5!}+\cdot \\ & =x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots \end{array}$$

1라디안은 원의 고유 성질인 ‘반지름’을 기준으로 각도를 실수의 영역으로 편입시키고, 고등 수학 및 물리학의 수식을 가장 간결하게 표현하기 위해 확립된 기준이다.