y축의 log

tl;dr

적당한 조건에서 로그 차분, 즉 로그를 뺀 값은 백분율 변화의 근사치가 된다.

도출

기준 시점의 임금을 $w_0$, 비교 시점의 임금을 $w_1$이라 하고, 임금의 실제 변화율을 $g$라고 둔다.

$g=\frac{w_1-w_0}{w_0}$

이를 $w_1$에 대해 정리하면 다음과 같다.

$w_1=w_0(1+g)$

그래프의 Y축에 표시된 로그 차분(비교 시점 로그값 - 기준 시점 로그값)에 위 식을 대입한다.

$\ln (w_1)-\ln (w_0)=\ln \left(\frac{w_1}{w_0}\right)=\ln (1+g)$

즉, 로그 차분의 값은 정확히 $\ln (1+g)$가 된다.

2. 테일러 전개(근사)의 적용

자연로그 함수 $\ln (1+g)$는 $g$가 $0$에 가까울 때 테일러 급수(매클로린 급수)를 통해 다음과 같이 무한 다항식으로 전개된다.

$\ln (1+g)=g-\frac{g^2}{2}+\frac{g^3}{3}-\frac{g^4}{4}+\cdots$

변화율 $g$가 충분히 작은 값(예: $0.1$ 이하)일 경우, $g^2,g^3$ 등의 고차항은 $0$에 극도로 수렴하여 무시할 수 있을 만큼 작아진다.

• $g=0.05$일 때:

  • $g=0.05$

  • $\frac{g^2}{2}=\frac{0.0025}{2}=0.00125$ (오차 수준 미미)

따라서 2차 이상의 고차항을 제거하면 다음의 근사식이 성립한다.

$\ln (1+g)\approx g$

결과적으로 아래와 같은 등식이 성립한다.

$\ln (w_1)-\ln (w_0)\approx \frac{w_1-w_0}{w_0}=g$

대략 $g$가 0.1 이하에서는 오차를 무시해도 좋을 정도로 작을 듯 싶다. 0.5% 정도의 오차다. 물론 무시해도 좋은 정도는 무엇을 다루느냐에 따라서 다르겠지만, 경제학의 성장률 혹은 금융의 이자율 같이 빠른 어름이 중요한 맥락이라면 큰 문제가 없다.

예시

위 그림은 아린 듀베(Arindrajit Dube) 교수의 연구에서 가져온 것이다. 그래프의 세로 축은 시간 당 임금의 로그 값이다.

• 2019년이 0으로 정규화
• 2025년의 10th의 수준은 대략 0.11이므로 2019년에서 2025년의 시간 임금의 변화율은 11% 정도라고 추산

로그 y축이 편리한 이유

• 두 관측 포인트에 대해서 y 축의 차이를 구하면 대략적인 변화율(성장률, 하락률)로 이해할 수 있다.
• 여러 관측 포인트에 관해서 선형 추세선(회귀선)를 추정했다고 하자. 이것의 기울기는 대상의 관측(해당) 기간 동안의 성장률을 의미한다.

로그 스케일의 의미

이 포스트를 참고하도록 하자. 로그는 변화율을 나타내는 지표다. 통상의 리니어 스케일이 절대적인 크기를 잰다면, 로그 스케일은 상대 크기를 측정하기 위해 고안되었다.

예를 들어 보자. 1에서 10이 되면 이 사이에는 단위 크기 1이 9개 들어간다. 10에서 100이 되면 이 안에는 단위 크기 1이 90개 들어간다. 이것이 리니어 스케일이다. 로그 스케일에서는 어떨까? 10은 1의 10배이다. 그리고 100의 10의 10배이다. 10의 밑수를 취하는 로그 스케일에서는 1과 10 사이의 간격과 10과 100사이의 가격이 동일하다.